Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương

Vectơ $\overrightarrow u $ được gọi là vectơchỉ phương của đường thẳng $\Delta $ nếu $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ và giá của $\overrightarrow u $ song song hoặc trùng với$\Delta $.

You watching: Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương

Nhận xét

-Nếu $\overrightarrowu $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng$\Delta $thì $k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của$\Delta $. Do đó một đường thẳng có vô số vectơchỉ phương.

-Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉphương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng$\Delta $đi quađiểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow u =\left( {{u_1};{u_2}} \right)$ làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x ; y)bất kì trong mặt phẳng, ta có $\overrightarrow {M{M_0}} = \left( {x -{x_0};y - {y_0}} \right)$. Khi đó $M \in \Delta \Leftrightarrow\overrightarrow {M{M_0}} $ cùng phương với $\overrightarrow u\Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_0}} = t\overrightarrow u $.

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - {x_0} = t{u_1}} \\ {y - {y_0} = t{u_2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_0} + t{u_1}} \\ {y = {y_0} + t{u_2}} \end{array}} \right.\left( 1 \right)$

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng$\Delta $,trong đó ttham số.

Cho tmột giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng$\Delta $.

*

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa

Vectơ $\overrightarrow n $ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng$\Delta $ nếu $\overrightarrow n \ne 0$ và $\overrightarrow n $ vuông góc với vectơ chỉ phương của$\Delta $.

Nhận xét

Nếu $\overrightarrow n $ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng$\Delta $ thì $k\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)$ cũnglà một vectơ pháp tuyến của$\Delta $. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếubiết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đưòng thẳng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng $\Delta $đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận$\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

See more: Hot Girl Khả Ngân Sinh Năm Bao Nhiêu, Tiểu Sử Khả Ngân, Tiểu Sử Khả Ngân

Với mỗi điểm M(x ; y) bất kì thuộc mặt phẳng, ta có: $\overrightarrow {M{M_0}} = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)$.

Khi đó:

$\begin{array}{*{20}{l}} {M\left( {x;y} \right) \in \Delta \Leftrightarrow \vec n \bot \overrightarrow {M{M_0}} } \\ { \Leftrightarrow a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0} \\ { \Leftrightarrow ax + by + \left( { - a{x_0} - b{y_0}} \right) = 0} \\ { \Leftrightarrow ax + by + c = 0} \end{array}$

Với $c = - a{x_0} - b{y_0}$.

*

Định nghĩa

Phương trình ax + by + c =0 với a b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét

Nếu đường thẳng$\Delta $có phương trình là ax + by + c = 0 thì$\Delta $có vectơ pháp tuyếnlà $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - b;a} \right)$.

* Các trường hợp đặc biệt

Cho đường thẳng $\Delta $có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (1)

a) Nếu a= 0 phương trình (1) trở thành by + c= 0 hay $y = - \frac{c}{b}$.

Khi đó đường thẳng $\Delta $vuông góc với trục Oy tại điểm $\left( {0; - \frac{c}{b}} \right)$.

*

b) Nếub = 0 phương trình (1) trở thành ax +c = 0 hay $x = - \frac{c}{a}$.

Khi đó đường thẳng $\Delta $vuông góc với trục Ox tại điểm $\left( { - \frac{c}{a};0} \right)$.

*

c) Nếu c= 0 phương trình (1) trở thành ax +by = 0.

Khi đó đường thẳng $\Delta $đi qua gốc tọa độ O.

*

d) Nếu a,b, c đều khác 0 ta có thể đưa phương trình (1) về dạng $\frac{x}{{{a_0}}} + \frac{y}{{{b_0}}} = 1$.

với ${a_0} = - \frac{c}{a},{b_0} = - \frac{c}{b}$. (2). Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đườngthẳng này cắt Ox Oy lần lượt tại $M\left( {{a_0};0} \right)$ và $N\left( {0;{b_0}} \right)$.

*

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có phương trìnhtổng quát lần lượt là ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$.

Toạ độ giao điểm của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là nghiệm của hệphương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0} \\ {{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0} \end{array}} \right.(I)$

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (I) có một nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$, khi đó${\Delta _1}$ cắt${\Delta _2}$ tạiđiểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.

b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó ${\Delta _1}$ trùng với${\Delta _2}$.

See more: Người Ta Điều Chế H2 Và O2 Bằng Phương Pháp, Điều Chế Khí Hiđro

c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ không cóđiểm chung, hay ${\Delta _1}$ song song với ${\Delta _2}$.

6. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ được kí hiệulà $\left( {\widehat {{\Delta _1},{\Delta _2}}} \right)$ hoặc $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)$.

Cho hai đường thẳng

$\begin{array}{*{20}{l}} {{\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0} \\ {{\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0} \end{array}$

Đặt $\varphi = \left( {\widehat {{\Delta _1},{\Delta _2}}} \right)$ thì ta thấy $\varphi$ bằng hoặc bù với góc giữa${\overrightarrow n _{_1}}$ và ${\overrightarrow n _{_2}}$ trong đó ${\overrightarrow n _{_1}}$, ${\overrightarrow n _{_2}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Vì $\cos \varphi \ge 0$ nên tasuy ra

$\cos\varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}},\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left|{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left|{\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} }\right|}}$

Vậy

$\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$.

*

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng$\Delta $cóphương trình ax + by + c = 0 và điểm${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến đường thẳng $\Delta $, kí hiệu là $d\left( {{M_0},\Delta } \right)$), được tính bởicông thức sau:

$d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$


Chuyên mục: Giải Trí